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    题干

    某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:

    ●操作发现:
    在等腰△ABC中,ABAC,分别以ABAC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三形如图1所示,其中DFAB于点FEGAC于点GMBC的中点,连接MDME,则下列结论正确的是________(填序号即可)

    MDME
    ③整个图形是轴对称图形;
    ④∠DAB=∠DMB
    ●数学思考:
    在任意△ABC中,分别以ABAC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,MBC的中点,连接MDME,则MDME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
    ●类比探索:
    在任意△ABC中,仍分别以ABAC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,MBC的中点,连接MDME,试判断△MED的形状.
    答:________.

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    文字解析

    【答案】
    解:●操作发现:①②③④●数学思考:答:MD=ME,MD⊥ME,1、MD=ME;如图2,分别取AB,AC的中点F,G,连接DF,MF,MG,EG,∵M是BC的中点,∴MF∥AC,.又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线,∴EG⊥AC且,∴MF=EG.同理可证DF=MG.∵MF∥AC,∴∠MFA+∠BAC=180°.同理可得∠MGA+∠BAC=180°,∴∠MFA=∠MGA.又∵EG⊥AC,∴∠EGA=90°.同理可得∠DFA=90°,∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA,即∠DFM=∠MEG,又MF=EG,DF=MG,∴△DFM≌△MGE(SAS),∴MD=ME.2、MD⊥ME;证法一:∵MG∥AB,∴∠MFA+∠FMG=180°,又∵△DFM≌△MGE,∴∠MEG=∠MDF.∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°,其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°,∴∠DME=90°.即MD⊥ME;证法二:如图2,MD与AB交于点H,∵AB∥MG,∴∠DHA=∠DMG,又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,即∠DHA=∠FDM+90°,∵∠DMG=∠DME+∠GME,∴∠DME=90°即MD⊥ME;●类比探究答:等腰直角三解形

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