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    题干

    如图①,在ABCD中,AB13BC50BC边上的高为12.点P从点B出发,沿BADA运动,沿BA运动时的速度为每秒13个单位长度,沿ADA运动时的速度为每秒8个单位长度.点Q从点 B出发沿BC方向运动,速度为每秒5个单位长度.PQ两点同时出发,当点Q到达点C时,PQ两点同时停止运动.设点P的运动时间为t(秒).连结PQ

    (1)当点P沿ADA运动时,求AP的长(用含t的代数式表示).
    (2)连结AQ,在点P沿BAD运动过程中,当点P与点B、点A不重合时,记△APQ的面积为S.求St之间的函数关系式.
    (3)过点QQRAB,交AD于点R,连结BR,如图②.在点P沿BAD运动过程中,当线段PQ扫过的图形(阴影部分)被线段BR分成面积相等的两部分时t的值.
    (4)设点CD关于直线PQ的对称点分别为C′、D′,直接写出CD′∥BCt的值.

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    文字解析

    【答案】
    解:(1)当点P沿A-D运动时,AP=8(t-1)=8t-8.当点P沿D-A运动时,AP=50×2-8(t-1)=108-8t.(2分)(2)当点P与点A重合时,BP=AB,t=1.当点P与点D重合时,AP=AD,8t-8=50,.当0<t<1时,如图①.作过点Q作QE⊥AB于点E.,∴.∴S=-30t2+30t.当时,如图②.,∴S=48t-48;(3)当点P与点R重合时,AP=BQ,8t-8=5t,.当0<t≤1时,如图③.∵S△BPM=S△BQM,∴PM=QM.∵AB∥QR,∴∠PBM=∠QRM,∠BPM=∠MQR,在△BPM和△RQM中,∴△BPM≌△RQM.∴BP=RQ,∵RQ=AB,∴BP=AB∴13t=13,解得:t=1当时,如图④.∵BR平分阴影部分面积,∴P与点R重合.∴.当时,如图⑤.∵S△ABR=S△QBR,∴S△ABR<S四边形BQPR.∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分.综上所述,当t=1或时,线段PQ扫过的图形(阴影部分)被线段BR分成面积相等的两部分.(4)如图⑥,当P在A-D之间或D-A之间时,C′D′在BC上方且C′D′∥BC时,∴∠C′OQ=∠OQC.∵△C′OQ≌△COQ,∴∠C′OQ=∠COQ,∴∠CQO=∠COQ,∴QC=OC,∴50-5t=50-8(t-1)+13,或50-5t=8(t-1)-50+13,解得:t=7或.当P在A-D之间或D-A之间,C′D′在BC下方且C′D′∥BC时,如图⑦.同理由菱形的性质可以得出:OD=PD,∴50-5t+13=8(t-1)-50,解得:.∴当t=7,时,点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′,且C′D′∥BC.

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