2013年福建高考试卷（理）

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一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.

已知复数z的共轭复数 $\text{[math]}$ (i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

双曲线 $\text{[math]}$ 的顶点到其渐近线的距离等于(　　)

A． $\text{[math]}$

B． $\text{[math]}$

C． $\text{[math]}$

D． $\text{[math]}$

某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(　　)

A．588

B．480

C．450

D．120

满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax²＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)

A．14

B．13

C．12

D．10

阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是(　　)

A．计算数列{2ⁿ^－1}的前10项和

B．计算数列{2ⁿ^－1}的前9项和

C．计算数列{2ⁿ－1}的前10项和

D．计算数列{2ⁿ－1}的前9项和

在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该四边形的面积为(　　)

A． $\text{[math]}$

B． $\text{[math]}$

C．5

D．10

设函数f(x)的定义域为R，x₀(x₀≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)

A．∀x∈R，f(x)≤f(x₀)

B．－x₀是f(－x)的极小值点

C．－x₀是－f(x)的极小值点

D．－x₀是－f(－x)的极小值点

已知等比数列{a_n}的公比为q，记b_n＝a_m(n_－1)_＋1＋a_m(n_－1)_＋2＋…＋a_m(n_－1)_＋m，c_n＝a_m(n_－1)_＋1·a_m(n_－1)_＋2·…·a_m(n_－1)_＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是(　　)

A．数列{b_n}为等差数列，公差为q^m

B．数列{b_n}为等比数列，公比为q^2m

C．数列{c_n}为等比数列，公比为qm²

D．数列{c_n}为等比数列，公比为qmⁿ

10.

设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x₁，x₂∈S，当x₁＜x₂时，恒有f(x₁)＜f(x₂)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是(　　)

A．A＝N*，B＝N

B．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0＜x≤10}

C．A＝{x|0＜x＜1}，B＝R

D．A＝Z，B＝Q

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11.

利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＞0”发生的概率为________．

12.

已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．

13.

如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，AD＝3，则BD的长为________．

14.

椭圆 $\text{[math]}$ (a＞b＞0)的左，右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c．若直线 $\text{[math]}$ (x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF₁F₂＝2∠MF₂F₁，则该椭圆的离心率等于________．

三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.

当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式： $\text{[math]}$ ．
两边同时积分得：，
从而得到如下等式： $\text{[math]}$ ．
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法计算： $\text{[math]}$ ．

16.

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $\text{[math]}$ ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 $\text{[math]}$ ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

17.

已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．

18.

如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点C的坐标为(0，10)，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A₁，A₂，…，A₉和B₁，B₂，…，B₉，连结OB_i，过A_i作x轴的垂线与OB_i交于点P_i(i∈N*，1≤i≤9)．(1)求证：点P_i(i∈N*，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4︰1，求直线l的方程．

19.

如图，在棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AA₁＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．
(1)求证：CD⊥平面ADD₁A₁；
(2)若直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求k的值；
(3)现将与四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定，若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)

20.

已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为( $\text{[math]}$ ，0)，将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数g(x)的图象．
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；
(2)是否存在 $\text{[math]}$ ，使得f(x₀)，g(x₀)，f(x₀)·g(x₀)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x₀的个数；若不存在，说明理由；
(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．

21.

已知直线l︰ax＋y＝1在矩阵 $\text{[math]}$ 对应的变换作用下变为直线l′︰x＋by＝1．①求实数a，b的值；②若点P(x₀，y₀)在直线l上，且 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标．

22.

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )，直线l的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，且点A在直线l上．①求a的值及直线l的直角坐标方程；②圆C的参数方程为 $\text{[math]}$ ，(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．

23.

设不等式|x－2|＜a(a∈N*)的解集为A，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，①求a的值；②求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．

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